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开放式教学初体验

浏览量:2125|发表日期:2010-10-25|来自:彭征

 

开放式教学初体验

                                 ——直线与圆的位置关系

温州市第八中学         

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一、课程分析

1)教材的地位和作用

在近十年的高考中,对选择题题型考查本章的基本概念和性质,此类题难度不大,但每年必考。以解答题考查直线与圆的位置关系,可能性不大。所以考试这类题难度为中档题。但是圆这一章性质比较多,特别是直线与圆这一知识非常重要,对后面学习直线与圆锥曲线起着抛砖引玉的作用,要重点研究。解决直线与圆的位置关系的问题,要熟练运用数形结合的思想,既要充分运用平面几何中有关圆的性质,又要结合代定系数法运用直线方程中的基本度量关系,养成勤画图的良好习惯。

2教学目标

1.  知识目标:能从“数”和“形”角度判断直线和圆的位置关系。

2.  能力目标:培养学生提出问题和解决问题的能力;培养学生的自主探索精神和创新能力。

3.  情感目标:通过课堂中和谐、民主的师生关系,让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞,培养学生严谨的科学态度。

3教学重点、难点与关键

1.  重点:利用“代数”或“几何”的方法解决直线和圆的位置关系。

2.  难点:在开放式教学中让学生自己发现问题,提出问题。

3.  关键点:帮助学生寻找“数”、“形”之间的联系。

4教学方法与手段

教学方法:开放式、探究式教学。

教学手段:利用教学软件几何画板辅助教学。

二、学情分析

学生已经学习了直线与圆的知识,能够解决一些基本题型,掌握了解析几何的一些常用的数学思想方法。但是因为初学,对知识的掌握上还是不够熟练,特别对某些题型该注意的问题比较模糊。另外规律方法的总结上缺乏系统性。所以这节课主要是通过典型题目起到复习基本知识总结规律的作用,其实解析几何中圆与圆锥曲线的解题方法有很多共性,也为以后解决难度稍大,比较综合的题目,起到铺垫知识,统一方法的作用。

三、设计理念:

课堂教学的中心是学生的学习活动,教学的根本任务是教学生学。本设计努力挖掘内容的本质和联系,充分考虑学生的学习基础和思维发展方向,力求教学过程的自然流畅。在教学方法上,以问题引导,探究交流为主,兼容讲解、演示、合作等多种方式,力求灵活运用。在教学目标上,因为这是复习课,所以注重方法规律的总结。以突出解析思想为主,容知识与技能、过程与方法、情感与体验为一体,力求多元价值取向。

 

四、教学过程及说明:

1、例题:已知圆C的方程 ,直线 y=kx+b

1)对于这样的直线和圆,你会研究什么问题?生:研究直线与圆的位置关系

2)请你具体给出kb的一组值,使直线 和圆C相交。生:k=1,b=1

3)直线 和圆C相交时,kb应满足什么关系?

4)直线 和圆C相切时,kb应满足什么关系?

5)直线 和圆C相离时,kb应满足什么关系?

设计意图说明:问题①是个开放题,结果不唯一。让学生充分感受到出题者的意图和研究问题的切入点,调动学生的积极性。问题②是个开放题,结果不唯一。学生可以分别从形与数这两个角度考虑这个问题,给出一组符合题意的kb的值。问题③④⑤是在问题②基础上的提升,探求直线和圆相交时的一般情况。切入本节课的主题。也为后面比较直线和圆锥曲线位置关系的代数与几何的处理的异同点,做个铺垫。

小结:处理直线和圆的位置关系的方法,有代数方法与几何方法。

 

2、变式1照着学生刚才提出的一组k,b的值,得到直线 的具体方程,如:k=1,b=1,y=x+1,可知直线 与圆C相交,在相交的情况下,提问学生,你觉得有什么问题可以研究的?

生:

1)弦长

2)交点坐标

3)圆上的点到直线的最远和最近的距离

4)圆心到直线的距离

设计意图说明:这是本节课的另一道开放题。这题有较大的思维空间,不同层次的学生都能在这个问题上有不同层次的施展。通过这个问题多种方案的解决,一方面可以复习相关知识,另一方面可以培养学生提出问题、发现问题的能力。学生提到多少就研究多少问题,充分体现学生为主体的教学思想。

 

3、变式2已知圆C的方程 ,直线 y=kx+1

提问:你会构造什么问题?

生:可能会去构造

1)直线 过哪个定点?

2)直线 与圆C的位置关系如何?

3)弦长

4)交点坐标

5)求直线 与圆C相交弦长最长(最短)时的直线方程

6)圆心到直线的距离

设计意图说明:这是本节课的另一道开放题。这题有较大的思维空间,不同层次的学生都能在这个问题上有不同层次的施展。通过这个问题多种方案的解决,一方面可以复习相关知识,另一方面可以培养学生提出问题、发现问题的能力。学生提到多少就研究多少问题,充分体现学生为主体的教学思想。

 

4、变式3:提出直线 y=kx+1过圆内的定点(01)。通过几何画板演示无论k取何值直线 与圆C必相交,提问学生能得到什么结论。(过圆内的一个定点的直线与圆必相交)。提问学生,如果定点移到圆上,比如(34),那过该定点的直线与圆的位置关系会怎么样?(相交或相切)。

提问:你会构造什么问题?

生:可能会去构造

1)相交的一系列问题

2)求相切时的切线方程

3)圆心到直线的距离

4)圆上的点到直线的最远距离

设计意图说明:这是本节课的另一道开放题。学生提到多少就研究多少问题,充分体现学生为主体的教学思想。如果学生提到相交的一系列问题,如弦长、交点坐标等,可告诉学生这类问题上面已经解决过,不必再去研究。此题的目的主要时研究切线方程问题。

 

5、变式4提问学生,如果定点移到圆外,比如(54),那过该定点的直线与圆的位置关系会怎么样?(相交或相切或相离)。

提问:你会构造什么问题?

生:(1)相交的一系列问题

2)求相切时的切线方程

3)求直线 与圆C相交弦长最长时的直线方程

4)切线长问题

设计意图说明:这是本节课的另一道开放题。学生提到多少就研究多少问题,充分体现学生为主体的教学思想。如果学生提到相交的一系列问题,如弦长、交点坐标等,可告诉学生这类问题上面已经解决过,不必再去研究。此题的目的主要时研究切线方程问题和切线长问题。

 

提问学生:直线 y=kx+bb是定值则直线 会过定点,那如果k是定值,b变动,则直线会如何变化?(生:平动)

6、变式5已知圆C的方程 ,直线 y=x+bC上的点到直线y=x+b的距离为1的点只有1个,则b的值是_________

追问:(1)圆C上的点到直线y=x+b的距离为1的点有且仅有3个,则b的值是_________

2)圆C上的点到直线y=x+b的距离为1的点有且仅有2个,则b的取值范围是_________

3)圆C上的点到直线y=x+b的距离为1的点有且仅有3个,则b的取值范围是_________

设计意图说明:这是本节课的一道不开放题。此题的目的主要时研究直线平动时的变化,为了知识的完备性。

 

7、变式6若圆C 与直线y=x+b相切,且其圆心在y轴的左侧,则b的值为________

设计意图说明:这是本节课的另外一道不开放题。此题的目的主要是研究动圆与动直线的位置关系,为了知识的完备性。

 

8、体验

1(2008年陕西)直线 与圆 相切,则实数m等于(  

A    B 3    C -      D 3

2)(2008年辽宁)圆 与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是(  

A                      B  

C                   D

设计意图说明:对照高考题,让学生体验很多高考题与刚才的变式类型相同,从而提高学生的自信心和成就感。

 

9、总结

这节课同学们学到了什么?

1、处理直线和圆位置关系的几种情况。

2、处理直线和圆的位置关系的方法:代数方法和几何方法。

 

10、作业布置

请同学们回去完成课堂上提及但未完成的探究题

 

五、教学反思:

本节课的设计,力求体现以学生发展为本的教学理念。教学过程中,以问题为载体,学生自主提问为主线,为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间。例题内容的安排上,注意逐步推进,力求使教师的启发引导与学生的思维同步,顺应学生学习数学的过程,促进学生认知结构的发展;给学生留下广阔的思维空间和拓展探索的余地,让学生体验到数学活动充满了探索和创造。在教学过程中,注意到培养学生合作交流的意识和能力。