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注重本质 追求自然 《几类不同增长函数模型》课例

浏览量:2349|发表日期:2010-10-19|来自:

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注重本质    追求自然

                    ------《几类不同增长的函数模型》教学课例

    2009年9月,我有幸参加了浙江省高中数学课堂教学评比活动,上课的课题是人教版必修1第三章函数的应用3.2 《几类不同增长的函数模型》第一课时。在温州市教研员叶事一老师和特级教师谢树光老师以及多位专家的悉心指导下,经历了二十几次的磨课,最终形成以下的教学设计。现将正式评比时的教学过程记录于下。

教学设计

1.1教学任务分析

(1)借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数的增长差异。

(2)结合实例体会直线上升,指数爆炸,对数增长等不同增长的函数模型的意义。

(3)恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题。

(4)体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.

1.2教学重点、难点

重点:将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长的含义。

难点:怎样选择数学模型分析解决实际问题。

1.3教学条件

计算器、几何画板、Excel、教学道具

1.4 教学过程

(一)情境设计

师:今天老师给大家带来了两个可爱的礼物。你可以从中选择一个,你会选哪一个?

情境:老师每天都向下面的储蓄罐里存钱,但存钱的方式不一样。

储蓄罐A:每天存入40元。

储蓄罐B:第一天存入10元,以后每天都比前一天多存入10元。

教学活动:屏幕上打出两个储蓄罐的图片和存钱方式。与学生交流,并共同在黑板上列出表格,得出结论。

设计意图:用与学生很贴近的“选礼物”做为背景引入,不仅能充分激发学生兴趣,而且把题意简洁地表达出来。使学生能够很容易入手,符合学生的认知规律。在与学生交流和问题解决的过程中,使学生体会到函数列表法的优点。

师:其实老师还有一个储蓄罐,今天也拿出来送给大家。三个让大家选,你会选哪一个?

储蓄罐C:第一天存入0.4元,以后每天存入的钱都比前一天翻一番。

教学活动:屏幕上打出第三个储蓄罐的图片和存钱方式。并通过交流在黑板和Excel上完成问题解决。

设计意图:当学生以为“选礼物”已经完成的情况下,再给出一个选择,具有一定的“冲击力”。再次激起学生的思维冲突,并对第三种存钱方式做出积极的思考。

(二)表格分析

师:为什么储蓄罐C里的钱会超过A和B里的钱呢?

教学活动:共同观察表格,并思考。

设计意图:开始切入主题,通过引导使学生体会到三种存钱方式的增长速度是不同的。

师:是什么引起累积储蓄增加得越来越快?

教学活动:学生思考,并回答。

设计意图:事实上,累积储蓄的增长特征是由日储蓄量的增长特征引起的。给接下去要研究日储蓄量与天数之间的关系埋下伏笔。

师:但是储蓄罐B的日储蓄量也在增加啊?

教学活动:学生思考,并回答。

设计意图:虽然B的日储蓄量与C的日储蓄量都在增加,但它们增加的速度是不同的,从这里开始对这节课的主题进行研究,并且也是从具体到抽象的一个过程。这种增长的特征是可以通过函数解析式和图象去体现出来的。

师:C的日储蓄量比B的日储蓄量增长得更快,到底有多快?你们有办法让老师感受到那种快的程度吗?

设计意图:如果想更全面地研究日储蓄量的增长特征,则要建立函数模型,通过对函数的研究,来体验增长速度的变化。采用这种提问的方法,不仅激起学生的求知欲,而且能很自然地过渡到函数模型的建立。

(三)建立函数模型

师:为了更深入地研究日储蓄量的增长特征,那么我们可以怎么做?

教学活动:个别学生回答,建立三种存钱方式的函数模型。

设计意图:通过建模的过程,使学生体会这是解决实际问题的一种基本方法。

(四)图象分析

师:为了更便于研究,我们用光滑的曲线把这些孤立的点连接起来,那么只要研究这三条曲线的变化特征就可以了。

教学活动:在学生思考片刻后,在几何画板上与学生一起画出三个函数模型的图象(孤立的点)。并利用动画演示将孤立的点用曲线连接起来。

设计意图:在用动画连接孤立的点时,让学生从图形上很直观地体会到三个函数模型的增长特征。并说明这时定义域已经发生变化,所研究的函数模型

师:你可以把这三个函数模型的增长特征描述出来吗?

教学活动:个别学生回答。老师加以完善。

设计意图:本节课的主要教学任务就是要体会到几类不同函数的增长差异。让学生自已去概括、总结从图形上直观观察到的增长特征,是本节课一个重要环节。

(五)速度刻画

师:增长得越来越快是什么意思?

教学活动:学生思考,并叫个别学生发表自己想法。并回到表格中做以下提示:实际上在表格中已经把这个“越来越快”体现出来了。比如当自变量从1增加到2时,函数值增加了0.4,但是当自变量从2增加到3时,函数值却增加了0.8。

师:现在你认为“增长得越来越快”应该是什么意思?

生:日增加量越来越多。

师:日增加量包含几层意思?

设计意图:本课主要研究几类不同函数模型的“增长”特征,增长应该是核心,而刻画增长特征的是“速度”,也就是“快”与“慢”。在数学中如何描述这个快慢的,应该让学生初步体会。为今后学习微积分(平均变化率与导数)奠定基础。

(六)小结过渡

教学活动:小结三种不同函数的增长特征,并点出本课课题。过渡语:从这个“小储蓄”的问题中,我们体会到了三种不同函数模型的增长特征,也学到了解决实际问题的一些方法。N年后,我们从“小储蓄”发展到“大投资”了,我们拥有了自己的公司,你能用今天学到的方法解决你公司里的一个问题吗?

设计意图:明确本课学习主要任务,并总结常数函数、一次函数、指数函数的增长特征。引出奖励模型问题。

公司奖励模型问题:

你的公司为了实现1000万元的利润目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%,策划部给你提供了三个奖励模型:,你如何选择?

(一)要求提炼

教学活动:引导学生审题,并用数学符号语言把公司的要求描述出来。并在黑板列出:

(1)允许奖励的利润范围:

(2)奖金随利润的增加而增加;(在定义域内是增函数)

(3)奖金总数不超过5万;(

(4)奖金不超过利润的25%;(

设计意图:解决实际问题的第一步就是审题,并将之数学化。在此更进一步培养了学生解决实际问题的能力。并且让学生会体会到数学符号语言的简洁美。

(二)的验证

师:我们可以如何验证

教学活动:学生思考并个别回答。

教学意图:引导学生能通过两种方法解决问题。(1)利用数据精确运算。(2)图形直观观察。

(三)回归“增长特征”

师:如何验证

教学活动:学生充分思考。老师与学生交流各种想法。通过图象比较、构造函数等多种方法进行验证。

设计意图:在的验证过程中,绐终不脱离本课核心内容,回归到函数“模型”的“增长”特征上去。并充分体现数形结合的思想方法。

(四)拓展设计

你的公司为了实现1000万元的利润目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%,策划部给你提供了三个奖励模型:,你如何选择?(注:加粗字体的要求去掉)

教学活动:学生思考并交流自己的想法。

设计意图:函数满足公司要求,并不说函数就是最好的。满足条件的函数有无数多个,只是不同的函数就有不同的增长规律。本题给出是三种典型的函数模型代表。去掉要求后,三种奖励模型的可行性就由它们各自的“增长特征”来决定了。再次让学生体验到了三种函数的增长特征,回归到本节课的核心内容。

(五)收获交流

教学活动:与学生交流。

(六)作业设计

1、课本P107 A1、A2、A3.

2、探究:你能写出符合公司要求的一次函数模型和指数函数模型吗?

 

教学实录

(一)情境设计

师:今天老师给大家带来了两个可爱的礼物。老师每天都向下面的储蓄罐里存钱,但存钱的方式不一样。储蓄罐A:每天存入40元。储蓄罐B:第一天存入10元,以后每天都比前一天多存入10元。你可以从中选择一个,你会选哪一个?

 

 

生:我会选择B。

师:为什么这么坚定地选择B?

生:因为B里的钱会越来越多,然后超过A。

师:很不好意思,其实老师还只存了两天的钱。

生:(全班发出笑声)那要看存钱的天数。

师:那么具体地应该是多少天你就会选择B呢?

(师生共同在黑板上列出表格,得出结论)

师:其实老师还有一个储蓄罐C,存钱方式是:第一天存入0.4元,以后每天存入的钱都比前一天翻一番。今天也带来送给大家。三个让大家选,你会选哪一个?

生:这也要看具体存钱的天数,列出表格就能解决问题。

师:有了起先的选择,大家考虑问题变得更加成熟了。

(具体列出前几天的存钱结果,然后由EXCEL完成,观察表格后,学生得到完整结论)

(二)表格分析

师:为什么里的钱会超过A和B里的钱呢?

生:储蓄罐C的日储蓄量越来越多。

师:但是储蓄罐B的也在增加啊?

生:C增加地更快。

师:C的日储蓄量比B的日储蓄量增长得更快,到底有多快?你们有办法让老师感受到那种快的程度吗?

(学生开始思考)

(三)建立函数模型

师:为了更深入地研究日储蓄量的增长特征,那么我们可以怎么做?

生:建立函数模型。

师:建立哪两个量之间的函数关系呢?

生:日储蓄量与天数之间的关系。

师:具体地,关系式应该是什么?

生:A:, B:, C:

(教师板书三个函数模型)

(四)图象分析

师:知道了函数解析式,能够更加全面地分析日储蓄量。但是老师却还没感受到它们增长速度的区别啊。

生:可以画出它们的图象。

师:由这三个函数的定义域,它们的图象有什么明显特征?

生:是一些孤立的点。

(师生共同在几何画板里画出三个函数图像)

师:为了更便于研究,我们用光滑的曲线把这些孤立的点连接起来,那么只要研究这三条曲线的变化特征就可以了。

师:这三条曲线分别对应什么类型的函数呢?

生:常数函数、一次函数、指数型函数。

师:观察图象,大家可以把这三个函数模型的增长特征描述出来吗?

生:模型A不增长,模型B匀速增长,模型C增长地越来越快。

(教师总结板书三种函数模型增长特征)

(五)速度刻画

师:增长得越来越快是什么意思?

(学生思考)

师:(切换到表格)实际上在表格中已经把这个“越来越快”体现出来了。比如当自变量从1增加到2时,函数值增加了0.4,但是当自变量从2增加到3时,函数值却增加了0.8。

现在你认为“增长得越来越快”应该是什么意思?

生:日增加量越来越多。

师:日增加量包含几层意思?

生:天数的变化和日储蓄的变化,即自变量的增量和函数值的增量。

师:所以增长速度就是………….?(语气拖长)

生:函数值增量相对于自变量增量的变化。

师:我们可以把这种增量直观地在图形上表示出来吗?

生:可以,做垂直。

(通过交流,得到图形,如右图)

师:现在我们如比较这两个函数模型的增长速度呢?

生:观察

(教师通过动态演示,生动该画“指数爆炸”增长,并与学生一起总结三种函数模型的增长特征。)

(六)小结过渡(略,详见教学设计)

公司奖励模型问题:

(一)要求提炼

师:你能简洁地用数学符号把公司的要求提炼出来吗?

生:(略,详见教学设计)

(二)的验证

师:我们可以如何验证

生:做出三个函数模型的图象,以及函数的图象。然后观察图象即可。

师:这位同学的想法非常不错,能借助于图象的直观性。

(利用几何画板画出所需图象,按学生的方法进行分析)

(三)回归“增长特征”

师:那又如何验证呢?

生:也观察图象就可以了。

师:那们就画出函数的图象。(几何画板作图)

生:观察函数的图象,发现在时好象都满足。

师:为什么是“好象”?

生:看不清楚。(学生笑)

师:那怎么办?

生:将图象放大。

(教师将图象放大后让学生观察,发现满足条件)

师:如果没有几何画板,我们可没那容易将图形放大哦。还有其它想法吗?

生:(思考片刻)只需将代入计算,是符合条件的。

师:为什么代就能说明当都满足呢?

生:因为可以发现两个函数的增长速度不同。

师:有什么差异?

生:直线的增长比对数函数快,所以当自变量越大时,差距反而越来越大。

师:能更确切描述一下对数函数的增长特征吗?

生:先是增长得较快,后来增长得越来越缓慢。

(将直线与对数的图象进比较。并总结对数型函数的增长特征,在黑板上板书)

师:是否还有其它想法呢?

(学生思考,没人发言)

师:其实我们就是要比较的大小。可以用什么方法呢?

生:作差。只要看是否成立就可以了。构造函数

师:你能猜测上具有什么单调性吗?

生:是递减函数。

师:为什么?

生:两个函数增长速度不同。

师:所以最大值是什么?

生:。只要计算就可以了。

师:非常好,同学们不仅从另一个角度解决了这个问题,还利用了一次函数和对数函数的增长特征,真是现学现用啊。

(四)拓展(问题见教学设计)

生:我选第三个模型。因为给员工的奖金可以越来越少,自己多赚钱。(学生笑)

生:我选第二个模型。给员工的奖金越来越多,可以激励员工好好工作。(学生发出更大笑声)

生:我会先用第一个模型,再用第二个模型,最后用第三个模型,因为………….

(下课铃声在学生的踊跃发言中响起了)

反思及对今后教学的启示

3.1 好的导入提升主体内驱动力

正如著名教育学家乌申斯基说:“没有任何兴趣,而被迫进行的学习,会扼杀学生掌握知识的意愿。”这节课的导入将书本的例1加以改造,使背景更贴近生活实际,非常注重激发学生学习兴趣与唤醒学习求知欲望。并且又立足于学习最近发展区,将例1的难度降低成两个方案的比较(原例题是三个方案的比较),使所有的学生都能很快找到切入口,让学生的真正参与成为可能。但改变背景后必须依旧能紧扣教学重点与核心内容,这样能在有效提升主体的内驱动力的同时为更有效的达成教学目标服务,好的导入是成功的一半。

3.2  教学设计的实质是问题设计

新课程的指导思想之一就是强调问题性、启发性,指出遵循认知规律,以问题引导学习,在课堂中要以恰时恰点的问题引导数学活动,让学生经历思想方法的产生过程。这堂课采用“问题链”形式给出有挑战性的问题,很好地激发了学生的研究热情,例如情景设计中第三个储蓄罐的给出,立即激起学生的思维冲突,在速度刻画中,当学生以为问题得到圆满解决的时候提出“增长得越来越快是什么意思?”,无疑又将学生的思维推向更高的深度,等等。他们利用旧知,探讨解决方案的同时产生了新知识、新方法,使数学学习成了一个再创适的过程。教学活动是一种特殊的认知结构活动,我们教师应精心设计出符合学生的认知规律,能诱发学生的认知冲突的有效问题,才能真正激发学生的学习兴趣,使学生的自主建构成为可能。好的问题能激活学生原有的知识结构,唤醒学生的运用意识。

3.3  “理解数学”才能体现本质

通过这次磨课让我重新审视我们以往的教学,过多的追求创新的教学策略与教学方法——怎么教,这是技巧问题,而忽略深入研究教学的内容,忽略自身对数学的理解——教什么,这是方向问题。长期以来教师对数学肤浅的理解是课堂教学效益不高的原因之一,技巧应该是为方向服务的,脱离方向谈技巧也就失去了应有的价值。此外,数学教师对数学理解除了要深入本质,还应该具备把“科学的数学知识”转化为“教育的数学知识”的技能,因为只有深入是不够的,还需要浅出,也就是说要将数学知识经过教学法的加工,使得学生易懂、易理解、易掌握,其实这是数学教师专业化的重要内涵与标志,这也需要长期的教学实践中坚持学习、反思、总结与积累,同时也说明了数学教学并非一种简单的重复劳动,而是必须依据特定的教学内容、特定的教学对象、特定的教学环境和学生的认识规律、心理规律进行创造性的专业工作。

专家点评(以下是浙江省特级教师谢树光老师的点评)

这是浙江省高中数学课堂教学评比的课例,我有幸担任了那次评委。对张启津老师的这堂课印象颇深。下面略谈几点看法,以供参考。

4.1深刻理解主题,适切设计教学

本课主要内容是两个例题,第一个例题解决认识“不同的函数不同的增长性”问题,第二个例题解决“如何利用函数的增长性解决问题”。第一个问题得到解决,第二个问题便迎刃而解。故重点是解决第一个问题。本课例通过情境导入,表格分析,建立函数模型,图象分析,速度刻画等环节,层层推进,步步深入,在学生自主探究的氛围中不知不觉地解决了第一个问题。再推出第二个例题,就有水到渠成之感。整个设计,干净利落,重点突出,颇为经典。

4.2数学课应有“数学味”

       《几类不同增长的函数模型》我们一共听了6节,本案对函数图象的研究,增长速度的剖析最为精到。用宁波中学特级教师胡建军校长的话说:这堂课很有“数学味”。数(数据)的背后有形(图象),形又可用数(增量)刻画,这里充分渗透了函数的思想、数形结合的思想。有些课虽然场面热闹,学生讨论的有声有色,但没有触及数学的本质。这不能算是一堂好课,更不能代表新课程的理念。要让学生学数学,用数学,充分体会学数学的乐趣。在这一点上,本案无疑留下精彩的一笔。例如用增量对增长速度的刻画,既给学生对函数增长速度有一个本质的认识,又可以为将来导数的学习埋下伏笔。

4.3课堂应该围着学生转

        好的教学设计不代表一堂好课,课堂不能围着教案转,也不能围着老师转,而是应该围着学生转。课堂是有生命力的。灵魂是学生的思维表演。只按教案讲的课是死课。只按老师的思维讲的课是假课。唯有紧紧抓住学生的思维运转的课才是精彩的课。学生的意到,老师的话到,才是课堂的脉搏。本案在这个方面确实做得很好,每个环节丝丝入扣,步步精彩。充分体现学生为本的教学理念。

当然,这堂课在整体把握上尚有不足之处,有待于日后进一步完善。叶斓教授讲“有缺陷的课是真实的课。”也是好课的标准之一。本课不失于一节好课!