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我创业,我做主——几类不同增长的函数模型

浏览量:3262|发表日期:2010-10-19|来自:彭征

 

业,我

                                  ——几类不同增长的函数模型

温州市第八中学     彭  征

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教学目标

知识目标   能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格,结合实例

体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数

模型意义, 理解它们的增长差异性.

能力目标    能通过审题,将实际问题转化为函数模型(直线上升、

指数爆炸、对数增长等),通过比较,提高学生的分析

能力。

情感目标    体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,体验

指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在

刻画现实问题中的作用.

教学重点难点

重  点:    将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、

指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线

上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.

难  点:    选择合适的数学模型分析解决实际问题.

 

课堂教与学互动设计

一、创设情景,引入新课:从H1N1病毒到“一传十,十传百”,建立函数模型问:除了指数型的函数外,我们还学习过几类增长的函数模型?

答:一次函数,对数函数,幂函数。

二、例一教学:分析社会现状,工作难找,国家新定政策,刚毕业的大学生可以从银行无息贷款10万元进行投资,现在又三种投资方案,这三种方案的回报如下:

方案一:开一家“地下铁”奶茶店,每天回报40元;

方案二:在淘宝上开一家网店,第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;

方案三:投资股票和期货市场,第一天回报元,以后每天的回报比前一天翻一番。请问你会

选择哪种投资方案?

[师生互动,探究新知]

探究:

1问:依据什么标准来选取投资方案?

如何建立三种方案的日回报收益与天数的函数模型?

引导学生分析本例中的数量关系,并思考应当选择怎样的函数模型来描述.

分析:根据已知的数量关系,写出相应的函数模型.

解:设第x天所得回报是y元.则方案一可以用函数进行描述;方案二可以用函数进行描述;方案三可以用函数进行描述;

2问:刚才我们用了函数的解析法去表示函数,那么函数还有几种表示法?(列表法、图像法)

分析:用列表法观察三个函数随时间x的变化,回报资金的增长差异.建立表格,画出图像。

3问:你能通过图象描述一下三种方案的特点吗?

分析:方案一是常数函数,没有增长,方案二是一次函数,线性增长,方案三是指数型函数,爆炸增长。利用几何画板给学生演示,让学生体验不同函数的增长快慢,并总结出指数爆炸的概念。

 

 

 

 

 

 

 

解:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4问:投资方案应该看日回报还是看累计回报?

分析:下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

因此,投资8天以下(不含8天),应选择第一种投资方案;投资8~10天,应选择第二种投资方案;投资11天(含11天)以上,则应选择第三种投资方案.

5总结:例题的启示:解决实际问题的步骤:

(1)实际问题     (2)读懂问题抽象概括    (3)数学问题    (4)演算推理

(5)数学问题的解(6)还原说明            (7)实际问题的解

 

三、例二教学:经过科学的选择和不懈的努力,你的投资终于给你带来了爆炸式的回报,现在你拥有了自己的公司,为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%[;]请你给出合适的函数模型,使得符合公司的要求?

探究:

1问:公司有哪些要求,你能用数学语言表达出来吗?

解:要求在区间[10,1000]上满足(1)单调递增    (2)y<=5     (3)y<=0.25x

 

2问:根据公司的要求,你会给出怎么样的函数模型?

引导学生从复习过的函数模型中入手。

学生分组讨论,给出函数模型,让全班同学一起去验证模型的正确性。验证的方法可以通过图像验证或者特殊值验证。引导学生给出一次函数、对数函数型、指数函数型的函数模型。教师利用几何画板现场验证,如果学生给出的函数模型不符合要求,提问学生如何改动,使得符合要求。

3问:现在有三种不同的函数模型,都能满足你公司的要求,如果你是老板,你会选择哪种模型?为什么?

分析:指数模型前期增长慢,后期增长快,可以用来激励员工。对数函数前期增长快,后期增长慢,容易养成员工的惰性。一次函数介于两者之间。

四、联系生活

组织学生讨论现实生活中的数学问题,感受生活中有数学、数学中有生活,比如:打电话时时间与话费的关系,结合自己打电话的时间,选择哪一种卡比较合适;存款利息,如何存,可使利息多;商场打折,比较在哪一家买东西更便宜;房屋按揭贷款等问题。(留给学生作为研究性学习课题)

五、小结

(1)认识指数函数、对数函数、一次函数的增长差异——一次函数匀速增长,对数函数增长前期快,后期慢,指数函数增长前期慢后期快,呈爆炸增长。

(2)应用函数模型来解决简单的实际问题。

教案设计说明

这节课我设计让学生在体验函数模型增长差异、结论逐步形成的过程中,体会到蕴涵在其中的思想方法;让学生的学习活动成为一个轻松快乐的过程。

两道例题在解决过程中均充分体现了“数学建模”思想方法,为了引领学生体验这种思想方法的解体过程,我设计了大学生自主创业的“阶梯状”深入的问题情境,目的是使整堂课连贯,且能帮助学生读懂题目、挖掘有益条件、从实际问题中抽象出数学函数模型,最终主动寻求答案。“数学建模”的过程也是培养学生的阅读、理解能力,渗透数学源于实际又应用于实际的思想,体会数学在实际问题中的应用价值。在例2的解题过程中,我采取让学生自主建立函数模型的设计,让学生亲身体验,进一步感受到对数增长,直线上升,指数爆炸的区别。