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“离散型随机变量” 教学实录与评析

浏览量:2030|发表日期:2010-10-18|来自:林克涌

 “离散型随机变量”教学实录与评析

 

林克涌  浙江省瑞安中学   

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1 主题解析

1.1 教材内容分析

本节课是高中数学(人教版选修2-3)第二章的第一课时,是学生在学习了函数与随机事件的概率之后进行的教学。随机变量是本节课的核心概念,引入随机变量实现了实数空间和随机现象的连接,从而为精确使用数学工具研究随机现象提供了可能,而离散型随机变量是最简单的随机变量,有着极其丰富的实际背景和广泛的实际应用,是后续学习离散型随机变量的分布列、二项分布及其应用的知识准备。

1.2教学目标分析

(1)了解本章要研究的问题及其基本思想,理解随机变量与离散型随机变量的概念,初步学会恰当地定义随机变量,并能用它表示简单的随机事件。

(2)通过概念的对比培养学生的化归意识,有效地突破本节课的教学重点随机变量、离散型随机变量的概念。

(3)通过例题的分析,与学生一起体验数学与生活的联系,经历从直观到抽象的数学化过程,培养学生抽象概括的能力,同时渗透着转化和数学应用意识。

1.3问题诊断分析

在教学过程中,学生对于为什么要引入离散型随机变量的概念以及在随机变量概念的形成过程中如何引导学生归纳概括随机试验结果的特点和如何恰当地定义随机变量可能会感到困难,但学生已经具备的映射、函数、概率知识及生活中接触的大量随机试验事例为本节的学习提供了保证,同时借助多媒体的辅助教学,更好地完成本节课的教学目标。

2课例呈现

2.1展示图片,介绍引言

   师:大家先看一下,在北京奥运男子50米步枪三姿决赛中让世界人民震惊的一幕,大家知道在这场比赛中发生了什么事情吗?(屏幕1展示图片: 男子50米步枪三姿决赛精彩一幕。)

  

生(讨论):脱靶,上次打错靶......

   师:哪位同学概括一下?

生1:在男子50米步枪三姿决赛中,美国名将埃蒙斯在前九枪取得巨大领先的情况下,最后一枪仅打出4.4环的成绩,再一次将金牌供手送给了中国选手邱健,还记得4年前的雅典奥运会,埃蒙斯最后一枪脱靶,将金牌拱手送给贾占波

师:(归纳)雅典错靶,噩梦一场;北京一战,重演悲情。埃蒙斯,总让世界惊奇!埃蒙斯在打最后一枪之前,我们知道他会打中几环吗?

生:不知道。

师:像这种在一定条件下,不能事先预见结果的事件称为随机事件(引出概念)。

所以,在射击运动中,每次射击的成绩是一个随机事件。对于射击这样的随机事件,我们应该如何刻画一个射击运动员的技术水平与特点呢?如果你是教练,如何选拔优秀射击运动员参加比赛使获胜的概率最大?应该考虑哪些因素?

生(讨论):经常击中哪些环,平均值,稳定程度....等。

师(归纳):我们从三个方面考虑(屏幕2显示):

①取每个值的可能性的大小    →  分布列

             ②这些值的平均水平          →  期望

             ③这些值的集中和离散程度    →  方差

这就是本大节中我们要研究的三个基本问题:分布列,期望,方差。它们从三个侧面描述了值的数字特征。我们要想利用数学工具研究随机事件。首先要将结果数量化,下面就来学习一下如何将随机事件结果数量化。(引出课题)

设计意图:从学生熟悉的感兴趣的背景出发进行教学,使学生在愉快的情景中尽情发挥,主动敲开学习数学知识的大门,很好的调动了课堂气氛,激起学生的学习兴趣,并能将章引言部分有机地结合起来,从而较自然地介绍本章所学内容及基本思想。

2.2创设问题,形成概念

师:请大家分析下列各随机试验的结果。

(屏幕3展示试验一  :在50m三姿射击决赛中,每次射击可能出现的环数。)

生2:可能出现0环,1环,……

生3:不对,在决赛中精确到0.1环

生(经过讨论统一):在试验一中可能出现0环,0.1环……     10.9环

(屏幕3展示试验二:掷一枚骰子,可能出现的结果。)

生:在试验二中可能出现1点,2点,….6点

(屏幕3展示试验三:掷一枚硬币,可能出现的结果。)

   生: 在试验三中可能出现正面,反面

   师:大家观察试验结果有何特点?

生(讨论):试验结果有些含有数字,…

师:发现在试验一,二中试验可能出现的结果非常自然的对应一个实数,根据这种对应关系我们可以用结果对应的数据表示随机事件。

如:在试验一中4.4表示命中4.4环,10表示命中10环等。

师:是不是所有的随机事件的结果都含有数字特征呢?

   生:不一定, 在试验三中就没有,试验结果不具有数字特点。

师:那么掷一枚硬币结果是否可以用数字表示呢?(学生思考)虽然随机事件与实数之间没有上述那种自然的联系,但是我们可以人为地给它们建立起一种对应关系。

(屏幕3显示)约定:

若试验结果出现正面朝上为1,

若试验结果出现反面朝上为0

师:这样就在试验结果与数之间建立了一种对应,试验结果就可以用数字表示,能不能用其他的数字表示这种结果呢?

生4:可以。如规定试验结果出现正面朝上为1,试验结果出现反面朝上为-1,……等。

师:(肯定学生回答)表示形式不唯一。(归纳)由以上例子可以知道,无论试验结果是哪一种情形(是否具有数字特点)试验结果都可以数字化。下面大家观察一下(提出问题)各个试验结果与数字之间的对应关系有什么共同特点?

生:(讨论)每个试验结果都对应一个数字……,等

师:所对应的数字是否唯一,数字跟什么有关系?

生5:每个实验结果都对应一个数字。

生6:数值与实验结果有关。

……

教师对学生的回答进行必要的补充和完善并在屏幕中显示:

①在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验的结果都用一个确定的数字来表示。

②在这种对应关系下,数字是随着试验结果的变化而变化的。

试验结果    →→    数

师:这样就存在着一个随着试验的重复可以取不同值的变量,由于每次实验的结果是无法预测的,自然地把这个变量称为随机变量。(屏幕4显示定义)

定义: 像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。

随机变量常用字母XY、ξ、η来表示

设计意图:通过对实验结果特点的分析,归纳其共同特点,让学生经历概念形成的过程,这样的建构过程符合学生的认知规律,也有利于培养学生抽象概括能力。

师:(提出问题)随机变量与我们学习过的哪个概念有类似的地方?

生:函数。

师:那下面就(屏幕显示)比较一下随机变量与函数这两个概念的异同点?

生7:他们都满足映射的定义。

生8:都对应数字。

师:非常好!有同学已经看出这两个概念的本质了,大家可以从函数的三要素出发谈谈他们的区别?(老师做适当的启发)

生9:函数自变量是数,随机变量不是。

通过师生之间的合作交流,屏幕4逐行展示随机变量与函数概念的异同点

相同点:随机变量与函数都是映射

不同点:随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数。函数的自变量是实数x,随机变量的自变量为试验结果。

师:通过以上比较,随机变量与函数概念有相似性,随机变量类似与函数,随机变量的取值范围相当于函数的值域,故我们也把随机变量的取值范围称为随机变量的值域。因此,我们就可以用类似于函数的观点来理解随机变量。

设计意图:通过随机变量与函数概念(三要素)的辨析比较,学生的互动交流,进一步揭示随机变量的内涵,更加清楚随机变量的对应本质,并将随机变量作为映射的外延加以理解吸收,从而引导学生用类似于函数的观点来理解随机变量。

2.3合作交流,理解概念

师:引入随机变量的目的是为了用数字表示随机事件,从而更好地用数学这个工具来研究随机现象。下面就学习一下如何用随机变量来表示随机事件。(屏幕5显示例1)

例题1 在含有10件次品的100件产品中任意抽取4件,记:从中任意抽取4件,其中含有的次品数为

问题1:是否为随机变量?

  师:首先,我们一起分析一下取什么值,在每次试验之前能否确定?

生:不能。

师:它跟什么有关。

生:它跟实验结果有关。

师:非常好!它依赖于试验结果,是随着试验结果变化而变化,所以是--?

生(齐):随机变量。

问题2:表示什么事件?呢?

生:从中任意抽取4件,抽取0件次品 ;

生:从中任意抽取4件,次品数小于3件。

师:利用随机事件表达一些事件,在形式上简洁了很多,问题(2)与函数类比,类似于已知函数值求自变量。

问题3:如何用表示事件“抽出3件以上次品”?

生(齐):表示为:事件

师:同样的与函数做类比相当与函数中哪类问题?

生(齐):已知自变量求函数值。

问题4:随机变量X的值域是什么?

生:值域为 。 

师:(引出随机变量的分类)象这种所有取值可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量。(屏幕6显示定义)

离散型随机变量:所有取值可以一一列举的随机变量。

                  (在数轴上表示时图像特征是离散的点)

师:我们能否举出一些离散型随机变量的例子?

生10:抛两枚硬币,出现正面的个数。

师:大家分析一下这位同学举的例子是不是离散型随机变量?

生11:是,因为抛硬币之前不知道会出现什么结果,抛完后出现几个正面就知道对应哪个数字了,满足 试验结果对应一个数。

生12:抛一枚骰子出现点数是奇数时规定为1,出现点数是偶数是规定为2,这个例子行不行?

生(众):可以的,试验结果对应一个数。

生13:今天我到电话亭打电话时,在等待的打电话的同学人数。

生14:经过教室门口的人数。

师:大家举的例子都很好,有各种类型。 从中可以发现随机变量的取值有有限个值与无限个值之分。我们本章研究的离散型随机变量只取有限个值。

师:我们再来思考一下班级里的灯泡能点多久?(屏幕6逐个显示问题)

思考: 电灯泡的寿命是离散型随机变量吗?

生:可能10天,几个月…等,都有可能。

师:电灯泡的寿命的可能取值是任何一个非负实数,可以取遍区间上的一切值,象这种随机变量称为连续型随机变量。(屏幕6显示定义)

连续型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以取某一个区间内的一切值。

                  (在数轴上表示时图像特征是连续的点)

变式1:如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000小时,那么我们如何定义随机变量呢?

变式2:如果规定寿命在1500小时以上是灯泡为一等品;寿命在1000到1500小时之间为二等品;寿命在1000小时以下为不合格品,如果我们关心灯泡是否为一等品或二等品,应如何定义随机变量?

两个学生口述教师在黑板上书写:

(1)     (2)

师:这两位同学讲的很好。还有不同的表示吗?

生15:在(2)中把一等品对应1,二等品对应2,不合格品对应3。

师:这样定义随机变量更巧妙,非常自然地体现了数值特征。从中可以知道随机变量表示一个随机试验结果是多样性的。

师(提出问题):根据以上问题我们在构造随机变量时要注意什么?

生16:象刚才(2)一样,抓住问题的数值特征。

生17:要看研究的角度。

师(归纳)为了便于研究,应根据实际问题结合数值特征构造恰当的随机变量,有些问题还可以考虑从不同的角度去构造随机变量。

设计意图:通过实例的比较分析,引导学生理解离散型随机变量和连续型随机变量的概念,并初步了解恰当定义随机变量对解决问题的意义与作用,同时培养学生抽象概括能力及化归的思想。

2.4应用巩固 深化概念

师:通过前面的讨论,我们对随机变量概念有了深入地了解,下面大家利用定义做练习(屏幕6逐个展示题目)

练习:下列随机试验的结果能否用离散型随机变量来表示?若能,则写出各随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果;

(1)从学校回家要经过5个红绿灯口,可能遇到红灯的次数;

(2)任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料,其实际量与规定量之差;

(3)多媒体设备无故障运作时间;

(4)一个袋中装有5只同样大小的球,编号为1,2,3,4,5,现从中随机取出3只球,被取出的球的最大号码数;

(5)抛掷两枚骰子,第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的和。

师:首先,我们一起分析第(1)题,从学校回家你们事先知道会遇到几个红灯吗?

生:不知道,这是个随机事件,红灯可能遇到0,1,2,,3,4,5个

师:所以随机变量的可能取值为?

生:0,1,2,3,4,5

师:若随机变量用X表示,那么X=1表示什么事件?

生:从学校回家要遇到1次红灯。

第(1)题具体解答过程屏幕展示。

师:同学们继续看第(2),(3)题

生:不是离散型随机变量。

师:为什么?

生:它们的取值不能一一列举。

师:若把这些随机变量所对应的值在数轴表示出来会有怎样特征?

生:连续的一段。

师:回答的很好,大家已经掌握了这两种随机变量的区别。

第(4),(5)题,两位同学板演(解答略)

师:以后还要学习求取这些值的概率。

设计意图:通过练习检验学生能否结合实际背景,区分随机变量类型;并培养学生将有关实际问题转化为离散型随机变量加以解决的能力。在教学过程中给学生留充分的时间让他们去思考与探讨并及时纠正出现的问题。

2.5 探索发现  融入生活

师:当你在食堂排队买饭莱时,你总感到你所站的队特别慢。

生(笑了):是的。

师:下面就思考我们身边的数学问题。(屏幕7逐个显示问题)

问题探究:一同学11:30下课后到食堂就餐,到达某个窗口买菜时已经在此排队的学生数为ξ,试问:ξ是随机变量吗?

生(激动):是,离散型随机变量。

引申1:每位同学买菜需要半分钟,该同学买到菜的时间为η,试找出ξ与η的关系?

生(齐):η=0.5ξ

师:这就象函数中的一次函数,知道了ξ的值,就可以求出等待的时间。

引申2:若该同学在11:45以后买到菜时,会对食堂产生“不满情绪”,试求:ξ为何值时,该同学可能会对食堂产生“不满情绪”?

生(笑):30人

师:如何消除不满情绪,你们对食堂有何建议?

生(众):多开窗口,提高速度…。

设计意图:从学生每天都遇到的问题出发,让他们从周围熟悉的事件中学习数学、感受数学、体会数学,学会用数学的眼光看待世界,用数学的思维去思考世界。

师(笑):学习数学,可以指导我们的生活。最后,我们总结一下,这节课学习了什么?

总结:(学生总结,屏幕8显示)

1.随机变量:试验结果与数之间的一种映射。

                    随机变量与函数的区别。

2. 随机变量的类型:离散型随机变量

                          连续型随机变量。

3. 如何合理构建随机变量

3 回顾与反思

3.1教学设计颇具特色

为了更好地实现本节课的教学任务,在教学过程中设计了以下几个阶段:

创设情境 导入新课在引言与章头图部分设计了北京奥运50米步枪三姿决赛中美国名将埃蒙斯最后一枪射击场景,极大地调动学生的积极性,从而介绍了本章节要学习的内容和学习的意义并引出课题。

贴近生活 突破概念 在概念探究部分设计了贴近学生生活的三个随机试验,启发学生归纳它们的共性,由此概括出随机变量的概念,同时与函数的概念进行比较,进一步揭示随机变量的内涵,更加清楚随机变量的对应本质,引导学生用类似于函数的观点来理解随机变量。

精心选题 培养能力 在例题处理上通过师生之间的交流,进一步理解离散型随机变量的概念,通过简单实例(如灯泡的寿命问题)的解决,引导学生学会恰当地定义随机变量来描述所感兴趣的实际问题,使学生在体会随机变量的随机性的同时,尽量能够简单地构造具有实际意义的随机变量,从而有效地突破本节课的教学重点和难点,在练习部分通过列举学生熟悉的生活例子使学生更加广泛了解离散型随机变量的实际应用,从而更加深入理解它的意义,同时培养学生抽象概括能力及化归的思想。

亲历实践 感受数学  对教材内容进行适当的加工与生活化处理,增加了:“从学校回家要经过5个红绿灯口,可能遇到红灯的次数;多媒体设备无故障运作时间;学生每天遇到的食堂排队问题”做到教材的内容与现实生活问题相挂钩,让学生感觉到数学就在身边,显示数学的实用性,使学生充分领略数学来源于实践、又应用于实践的道理。

3.2教学设计中的几点思考

(1)章引言的介绍

作为起始课,如何介绍章引言内容,如何实现与本节课内容自然联系是教学设计中遇到的第一个困难。如果直接提出章引言中的问题“他的射击水平如何刻画?他的射击水平该如何评价?”不能很好的提高学生的兴趣,另外这个问题指向不明,学生不知道从哪个角度去回答。可能会出现远离我们设计意图的答案,不能很好的借此问题概括本章的学习内容以及研究思路,因此赋予章头图一定的背景是必要的。在实际教学中该课引入的过程简单简洁,师生合作默契,达到课前设想。

(2)概念的突破

作为一节概念课,学生若不仔细研读教材,很可能会从字面理解随机变量是一种“变量”,很难与函数概念联系起来从函数角度来理解随机变量的本质是一种对应,这是本节教学中遇到的最大困难。如何引导学生与函数概念作比较,把学生的思维逐步引向深入,突破本节课的教学重点,这就需要设计提问方式和提问艺术,需要教师细致的指导,发挥教师的组织者与引导者的角色,这在实际教学中是比较难处理的地方。

结束语

这节课在设计上以生活化的情景、实例为材料,贴近学生的生活感受,激发学生的兴趣和求知欲感,让每个学生都有机会参与思考与学习。在实际教学中基本达到预期目标。

 

参考文献:

1 中华人民共和国教育部编制.  普通高中数学课程标准[M] . 北京:人民教育出版社,2003

2 罗城.新课程课堂教学案例丛书. 高中数学[M] .四川: 四川教育出版社,2006

3 胡庆彪.新课程教例剖析与教案研制[M] .广西:广西教育出版社,2009