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(谢尚志)两堂“几类不同增长的函数模型”课的评析与反思

浏览量:4338|发表日期:2011-11-18|来自:谢尚志

两堂“几类不同增长的函数模型”课

的评析与反思

温州市第二十三中学  325000  谢尚志

 

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前不久,在浙江省高中数学课堂教学评比活动中,笔者有幸听到了温州二中张启津老师执教的《几类不同增长的函数模型》一课,学生配合默契投入,课堂气氛和谐愉快,师生互动风落水上,自然成纹,令我感触颇深;无独有偶,2005年10月,温州市高中数学青年教师课堂教学评比活动的课题之一也是《几类不同增长的函数模型》,当时第一名获得者苍南中学项延行老师执教的一课也是让听课教师耳目一新,如沐春风,给我留下的深刻的印像。由于是两个不同时期的教学,两堂课的教学设计差别很大,出现了很多问题,引起了同行们的一些争论,因此笔者重新研究课标要求、教材编写意图,反复推敲两个案例,收获甚多。下面是笔者对这两堂课的认识与思考,望与广大同仁交流学习。

1  课堂引入环节的比较与评析

1.1  老师的课堂引入

材料:“玫瑰花”悬案

公元1797年,法国元帅拿破仑参观国立卢森堡小学时许下诺言:赠上一束价值12000法郎的玫瑰花,以表两国的友谊,此后,由于连年的征战,拿破仑忘记了这一诺言!时隔97年,也就是公元1894年,卢森堡王国郑重向法国提出了“玫瑰花”悬案,要求法国兑现诺言,付给卢森堡王国136.1万法郎。

问题:当时卢森堡王国是怎么算这笔帐的?(年利率5%)

生:.

师(追问):若按这种算法,这笔账到今天又是多少了?

生:. (注:当时是2005年)

此时学生表现出对指数效应的惊人变化的惊叹.

1.2  老师的课堂引入

今天老师给大家带来两个可爱的礼物(储蓄罐),老师每天都向着两个储蓄罐里存钱,但存钱方式不一样。

储蓄罐A:每天存40元;

储蓄罐B:第一天存10元,以后每天都比前一天多存入10元。

你可以从中选一个,你会选哪个?

生:利用一一列举(列表法)顺利解决。

师:其实老师还有储蓄罐,今天也拿出来送给大家,三个让大家选,你选哪个?这个储蓄罐的存钱方式为:第一天存入0.4元,以后每天存入的钱都比前一天翻一番。

生:列出日储蓄量和累积储蓄量的表格,观察数据完成选择。

1.3   观点与评析

项老师创设故事情境,以故事激起学生的兴趣,以问题带动学生的思维,并让学生感受到指数效应之下,数据增加的速度惊人,借而提出本课的研究课题。反思其设计发现,此情境只强调指数爆炸增长,虽然能给学生在“数据”上有较大的冲击,但未能给学生学习如何研究函数的增长速度提供有效帮助,学生在课后也只对“数据”上“指数爆炸”留有印像,与接下来要研究的例1连结也显得不太自然。

张老师用与学生贴近的“选礼物”做为背景引入,不仅能充分激发学的兴趣,而且把例1的题意简洁的表达出来。此设计的关键是张老师先给出两个方案,这就让此问题具有起点低,可操作性的特点,学生很容易入手,在学生顺利解决两个方案的选择后,再给出一个新的“礼物”,具有一定的“冲击力”,保持住学生思维状态,既符合学生的认知规律,又为接下来的学习、探究提供了思维基础。

2  例1教学环节的比较与评析

2.1  老师的教学处理

让学生阅读例1(略)后给出问题:

问题1:各方案每天回报的大小是多少,如何计算?

生:分析三种方案的规律,建立函数模型:

方案一:,方案二:,方案三:

问题2:根据函数模型,如何比较他们的大小?

(在教师的帮助下): 应用计算机列出自己所列三种方案函数对应的每天回报的大小,及增量大小的Excel表格(略).并回答问题.

师(追问):

根据表格中所提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?

你能借助计算机或计算器作出函数图象并通过图象描述一下三种方案的函数学模型变化的特点吗?

生:观察表格,获取信息,体会三种函数的增长差异,特别是指数爆炸,说出自己的发现,并结合图像(如图1)对三种方案的不同变化趋势作出描述.

 

 

 

 

 

 

 

 


 

图1

问题3:根据上面的探究你会选择哪种投资方案,选择的理由是什么?

(有学生回答选方案3理由是方案3增长速度快)

师:引导学生分析影响方案选择的因素,使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益,还要考虑一段时间内的总收益.

:要考虑投资时间,再做出选择:投资8天以下(含8天)选方案一,8~10天选方案二,11天(含11天)选方案三。

(追问)通过本题的探究,同学们对函数模型的增长情况有什么体会?

生:体会到指数的爆炸增长与直线的均匀增长。

2.2  张老师的教学处理

问题1:为什么储蓄罐C里的钱会超过A和B里的钱呢?

生:通过观察数据表格,思考发现是因为三种存钱方式的日储蓄量增加速度不同引起的累积储蓄量不同.

问题2:C的日储蓄量比B的日储蓄量增长得更快,到底有多快?你们有办法让老师感受到那种快的程度吗?

生:为了能更清楚的研究它们的增长速度,可以建立三种存钱方式的函数模型,如下:

储蓄罐A:, 储蓄罐B:, 储蓄罐C:

并借助计算机做出图象来观察它们的变化特征就可以了.

师:和学生一起利用<几何画板>做出三个模型的函数图象(孤立的点),并利用动画演示将孤立的点用曲线连接起来(如图4).

 

 

 

 

 

 

 

                  

图4

师(追问):你可以根据上面的动画把三个函数模型的增长特征描术出来吗?

生:常数函数不增长,一次函数均匀增长,指数型函数增长得越来越快(爆炸增长)!

问题3:增长得越来越快是什么意思?

生:(教师提示观察日增加量的表格去发现)自变量增加相同值时,函数值增加得值越来越大.

师:利用<几何画板>动画演示一次函数与指数函数增加量的变化情况(如图5),引导学生小结不同函数的增长特征,并点出本课课题.

2.3  观点与评析

项老师通过问题1来引导学生讨论归纳出函数模型,也为下面进一步分析模型做铺垫。问题2启发学生利用函数的另外两种表式方法:表格与图象(学生原有认知)进行研究,特别是利用图象的特征描述出三种函数模型的变化特点,从而得出“指数爆炸”、“直线增长”这些感性化的词汇。这两个问题的设计符合学生的认知规律,紧扣思想方法,教师的适时引导与及时追问体现了教师主导与学生主体课堂理念,在当时(05年,浙江省还没有实施新课程改革)确实让听课教师在教学理念上的有了一次冲击与刷新。可惜问题3的处理笔者以为,项老师没能跳出教材的束缚,把方案的选择(一种结果)留在最后,其实选择方案不是目的,而且只要列出日增长量与累积增长量的表格便能解决,这样的处理无意中淡化了本节课的重点:将实际问题转化为函数模型,比较几类函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸等不同函数类型的增长的含义(一种过程)。

张老师的教学中,由于在情境引入环节,学生已经通过列表完成方案的选择(结果),因此,这里环节张老师通过问题1引导学生体会三种存钱方式的增长速度不同,其实是日储蓄量增加的速度不同引起的,这给接下来研究日储蓄量与天数之间的关系埋下伏笔,从而自然的进入对本节课的主题;问题2启发学生思考如果想更全面的研究日储蓄量的增长特征,则需要建立函数模型,通过对函数的研究(利用图象研究函数的方法是学生已有的知识,符合学生的认识规律)来体验增长速度的变化,并且通过追问让学生自己去概括、总结从图形上直观观察到的增长特征,是一个让学生经历从具体到抽象的数学建模的过程,坚扣本节课的重点(过程)。而问题3的设计更是本节课的一个亮点,不仅能让学生对增长速度快慢的体会更深刻,而且让学生初步体会数学中如何描述增长的“快”与

“慢”,为今后学习平均变化率与导数学打下基础,这里也体现出了张老师的“用教材教”而不是“教教材”教材处理观。

3  例2教学环节的比较与评析

3.1  老师的教学处理

与学生一起阅读例2(略)后给出问题:

问题1本例涉及了哪几类函数模型?它们的增长变化情况怎样?

生:有三种函数模型:一次函数、指数函数、对数函数,一次函数直线增长、指数函数快速(爆炸)增长……(多数同学表现对对数学函数学模型增长变化情况存在疑点)

问题2符合公司要求的模型有什么条件,如何用数学式子表达?

生:要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元,以及奖励比例是否超过25%进行分析,才能做出正确选择即()

问题3:那如何判断它们是否满足条件呢?

生:先通过计算发现只有,满足,再判断在,时,是否成立.

师: 如何判断?

(此时大部分学生均表现出疑惑,但仍在继续思考)几分钟后,

师:(提示)那你会判断是在,是否成立吗?

生:,若能知道的单调性就能判断了。

师:好,那我们不妨一起利用《几何画板》画一下函数的图象(如图2)看一下的单调性如何。

 

 图2

生:由图象可知它在,递减,只需验证即可。

(此时学生的脸上都露出了成功的喜悦)

接着教师趁热打铁继续引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响,使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况.并借助计算机作出三个模型的函数图象(如图3),对三个模型的增长情况进行分析比较,分析数据特点判定每一个奖励模型是否符合要求,并让学生体会到对数模型平缓增长的特征。

   

 

 

 

 

 

 

 

 

图3

3.2  老师的教学处理

过渡语:从这个“小储蓄”的问题中,我们体会到了三种不同函数模型的增长特征,也学到了解决实际问题的一些方法。N年后,我们从“小储蓄”发展到“大投资”了,我们拥有了自己的公司,你能用今天学到的方法解决你公司里的一个问题吗?

例2:公司奖励模型问题

问题1:你能用数学关系描述公司要求吗?

生:(1)允许奖励的利润范围:

   (2)奖金随利润的增加而增加;(在定义域内是增函数)

   (3)奖金总数不超过五万;(

   (4)奖金不超过利润的25%;(

问题2:如何验证

生:利用计算器计算可知,或者做出函数图象观察亦可。

师:利用《几何画板》做出函数图象(如图2),并引导学生利用图象特征回答问题。

问题3:如何验证

生:观察函数的图象与函数的图象,发规在时好像都满足。

师:为什么是“好像”?

生:图象看不太清楚,需要把图象放大一点。

师:将图象放大后让学生观察,和学生一起发规满足条件。

师:还有其它方法吗?

生:(思考片刻后)只需要将代入计算,是符合条件的。

师:为什么代就能说明当时都满足呢?

生:因为可以发现两个函数的增长速度不同,直线的增长比对数函数快,当自变量越大时,差距反而越来越大。

师(追问):你能更确切的描述一下对数函数的增长特征吗?

生:先是增长得较快,后来增长得越来越缓慢。

(下课铃声响了……)

3.3  观点与评析

项老师的问题1旨在让学生回顾前面的体会,希望紧扣本课的核心内容:函数模型的增长特征,也是为接下来的探究做好铺垫。问题2是一个培养学生从实际问题中抽象出数学关系(数学化)的过程,但放在问题1后面,反而中断了学生的思维,也淡化了问题1的直接作用,这也是学生在思考问题3时不能回归到函数模型的增长特征去判断的主要原因,笔者以为,将问题2与问题1的顺序互换会让学生思维更流畅,又能紧扣本课的核心,为问题3的解决提供了方法。在问题3的处理上,项老师通过及时的启发、引导,很好的突然破了本节课的一个难点(构造函数对高一学生来说会有困难),又让学生体会到了成功的喜悦,是本节课的一个亮点,充分体现了关注学生发展的课堂教学理念。

张老师先利用过渡语保持了课堂的自然与流畅,又把例题中的“某公司”改成“我们的公司”无形中拉近了与学生的距离,也让学生觉得我们就是在研究自身边的问题。张老师设计的3个问题紧紧围绕着解决例题的核心因素,又充分关注思想方法(数学建模思想、数形结合思想等)的渗透,使解决问题的这程始终是在数学思想方法的指导下进行的。在验证的处理上,张老师始图不脱离本课的核心内容,回归到函数“模型”的“增长”特征上去。稍有遗憾的是下课铃声响了,学生的思维还很活跃,却没能体验到构造函数(作差或作商)的思想方法。

4  反思及对今后教学的启示

4.1 好的导入提升主体内驱动力

正如著名教育学家乌申斯基说:“没有任何兴趣,而被迫进行的学习,会扼杀学生掌握知识的意愿。”两位老师都在导入环节非常注重激发学生学习兴趣与唤醒学习求知欲望,但好的导入还必须立足学习最近发展区,紧扣教学重点与核心内容,这样才能在有效提升主体的内驱动力的同时为更有效的达成教学目标服务,好的导入是成功的一半。

4.2  好的问题开启主体智慧之源

新课程的指导思想之一就是强调问题性、启发性,指出遵循认知规律,以问题引导学习,在课堂中要以恰时恰点的问题引导数学活动,让学生经历思想方法的产生过程。两堂课中都采用“问题链”形式给出有挑战性的问题,很好的激发了学生的研究热情,他们利用旧知,探讨解决方案的同时产生了新知识、新方法,使数学学习成了一个再创适的过程。教学活动是一种特殊的认知结构活动,我们教师应精心设计出符合学生的认知规律,能诱发学生的认知冲突的有效问题,才能真正激发学生的学习兴趣,使学生的自主建构成为可能。好的问题能激活学生原有的知识结构,唤醒学生的运用意识。

4.3  “理解数学”是第一基石

两位老师的精彩课堂让我重新审视我们以往的教学,过多的追求创新的教学策略与教学方法——怎么教,是技巧问题,而忽略深入研究教学的内容,忽略自身对数学的理解——教什么,是方向问题。长期以来教师对数学肤浅的理解是课堂教学效益不高的原因之一,技巧应该是为方向服务的,脱离方向谈技巧也就失去了应有的价值。此外,数学教师对数学理解除了要深入本质,还应该具备把“科学的数学知识”转化为“教育的数学知识”的技能,因为只有深入是不够的,还需要浅出,也就是说要将数学知识经过教学法的加工,使得学生易懂、易理解、易掌握,其实这是数学教师专业化的重要内涵与标志,这也需要长期的教学实践中坚持学习、反思、总结与积累,同时也说明了数学教学并非一种简单的重复劳动,而是必须依据特定的教学内容、特定的教学对象、特定的教学环境和学生的认识规律、心理规律进行创造性的专业工作。

 

 

参考文献

1、谢尚志.《一次‘新说课’活动的经历与反思》.中学数学教参考.2009.6

2、肖燕.《遵循认知规律 凸现主体地位》.数学通讯.2009.10