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变式——一种有效的中国教学方式

浏览量:2125|发表日期:2012-07-24|来自:吴立建名师工作室

 

变式——一种有效的中国教学方式
              ——读《华人如何学数学》有感   董文婷
20世纪80年代以来,许多中国中小学生参加的有关数学成绩的国际比较研究一直重复着矛盾的结果。一方面,许多研究表明,中国学生无论在数学成绩国际比较中,还是在国际奥林匹克数学竞赛中,表现都优于西方学生;另一方面,许多西方研究者发现中国的学习环境不太可能产生“好的学习”,比如,根据教学方法,中国的学习环境被形容为“被动灌输”和“机械训练”。因此,这些表明中国的数学教学是相当传统和保守的。
这种矛盾的情况被称为“中国学习者悖论”,并且在国际上受到数学教育研究者和跨文化心理研究者的广泛关注。
为了解释这种悖论,我们将目光关注于具有中国特色的教学方式——变式教学。
事实上,相对于西方教育者,中国教育者更倾向于多角度理解知识、有层次推进教学以及寻找不同的问题解决途径。
而所谓的变式教学,即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性,或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。目的在于使学生理解哪些是事物的本质特征,哪些是事物的非本质特征,从而对一事物形成科学概念。
在运用前人的经验和实验的基础上,顾泠沅系统地提出了两种变式:概念性变式和过程性变式。
传统意义上的概念性变式主要包括以下两类变式:改变概念的外延,称为概念变式。改变一些能混淆概念外延的属性,比如举反例,称为非概念变式。这两类变式,目的是让学生获得对概念的多角度理解。
举个例子,比如在学习整式时所设置的一个问题:
下列代数式中哪些是整式?
    
整式的本质是单项式和多项式的总和,而上例中就是整式的外延,即对象。在教学过程中我们教师可以改变这些对象来加深学生对整式这个概念的理解。这就是概念变式。当然,在必要时候教师可以通过举反例来加固对概念的理解,即上例中的也就是非概念变式。
虽然,有时一些正确的外延(概念的标准形式)有利于学生对概念的准确把握,但也很容易限制思维的灵活性,甚至不恰当地缩小概念的外延。比如,在教学三角形的高时,教师一般都用锐角三角形作为范例。但是此时如果不及时补充直角三角形和钝角三角形的高(非标准形式),学生的思维就被局限于锐角三角形这个标准形式。此时解决的有效方法是充分利用非标准形式,通过变换概念的非本质属性,突出其本质属性。
数学教学包括两种类型的活动:一种是教陈述性知识(即概念),另一种
是叫程序性知识(即过程)。由于程序性知识(问题解决和元认知策略)是动态的,采用静止的概念性概念性变式不能促进其学习过程。 这时,过程性变式就显得非常重要了。
经实验表明,过程性变式具有以下几种作用:
(1)促进概念的形成。当概念被认为是静止对象时,概念性变式是卓有成效
的教学方法。如果概念是通过一系列过程的发展而形成的,那么对过程的理解也
是掌握概念的重要方面。
(2)问题解决的铺垫。数学问题解决的一个基本思路是把没有解决的问题转
化化归为已经解决的问题,复杂的问题化归为简单的问题。
(3)构建数学经验体系。设计过程性变式的目的是增加活动途径的多样性和
活动过程的层次性,每个数学活动都包含一个或一系列过程变式,这些变式包括化归或探索的步骤和策略。知识体系(概念体系)反映蕴涵概念/命题的逻辑结构,而经验系统(即过程)则反映学习者主观的问题解决的特定经验。经验系统的丰富性和有效性对于完善认知结构极为重要。构建特定经验系统的变式(即过程能力)来自问题解决的三个维度改变某一问题:改变初始问题成为一个铺垫,或者通过改变条件、改变结论和推广结论来拓展初始问题。同一个问题的不同解决过程做为变式,形成一个问题的的多种解决方法,从而联结各种不同的解决方法。同一方法解决多种问题,将某种特定的方法用于解决一类相似的问题。
在概念形成的过程中,过程性变式反映了概念形成的逻辑过程、历史过程和心理过程,从而使学生的学习可循序渐进地进行。在问题解决的过程中,过程性变式既可表现为一系列用于铺垫的命题或概念,也可以表现为某种活动的策略和经验,从而使学生的问题解决活动具有多个层次或多种途径。在形成认知结构的过程中,过程性变式创造了一个多层次的经验和策略系统。
举个例子:
如图1,O为△ABC内任意一点,连结OA、OB、OC,在OC上任取一点E,作EF∥AC交OA于点F,作DE∥BC交OB于点D,连结DF。求证:△DEF∽△ABC。
现在我们抓住一个关键字:O为△ABC内任意
一点中“内”字。如果O不是△ABC内任意
一点,   比如边上一点,或是外部一点,结论
又怎样呢?
变式1:如图2,将“O为△ABC内任意一点”           图1
改为“O为△ABC外任意一点”,其他条件不变,             
求证:△DEF∽△ABC。
变式2: 如图3,将“O为△ABC内任意一点”
改为“O为AB边上任意一点”,其他条件不变,           
求证:△DEF∽△ABC。                                    图2
变式3: 如图4,将“O为△ABC内任意一点”
改为“O为顶点A”,其他条件不变,           
求证:△DEF∽△ABC。
通过变式,我们可知只要O为平面内任意一点,
总有△DEF∽△ABC。这就是典型的改变条件从而             图3
推广结论的一个过程性变式。
以上几个变式都是O点在运动,此时我们还可以      图4
考虑,若△ABC在变化,结果又该如何?                    
不管是概念性变式还是过程性变式,都是为学生理解概念的本质以及形成良好的知识结构服务,两者是相辅相成。
通过使用“概念性变式”,学生可以多角度地理解概念:从具体到抽象,从特殊到一般,通过排除背景干扰,突出概念的本质属性,阐明概念的内涵。
通过使用“过程性变式”,学生可以理解知识的起源以及用什么方法和在什么地方运用它们。帮助学生形成概念,解决问题,构建一个活动经验系统,进一步可以帮助学生理解知识的不同组成部分和完善知识结构,同时建立新旧知识的合理本质的联系。
 对于这两种变式,可以从西方理论中找到支撑和解释,比如Diense的数学可变性原理以及马顿的变异理论。个人从马顿的变异/不变异模式中学到不少东西。马顿认为,学习者在某种情境下是否能够分辨关键特征并学习分辨,依赖于这个情境中变异/不变异的两个方面,理由是我们仅仅能够分辨变异的部分。比如说,在教学过程中如果要掌握概念,则不变的是概念,变的是对应于概念的不同例子。在这些例子中,焦点在于概念是不变的,其思想是把问题中的概念的关键性质从其他相关的因素中析离出来。一个例子如果没有经历变化,就不可能体会它们的不同以及问题的本质。比如我们如果一直用x表示方程的未知数,学生就很难将未知数与x分开,即不理解问题的本质。
总而言之,变式教学就是构建合适的变异空间,提供恰当的铺垫,帮助学生建立与已有知识的内在实质性联系。也就是说,通过恰当的变式教学,中国数学课堂教学才能成为有意义学习,学生也能积极地参与学习中。当然,若是不恰当的应用,中国的课堂教学就会成为被动灌输和机械操练。因此,在日常教学中,师生必须构造一个恰当的学习空间(恰当的变式教学)才能有助于获得探究性的有意义学习。