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对课后一道习题的类比与推广

浏览量:993|发表日期:2011-11-18|来自:

对课后一道习题的类比与推广

 

浙江省瑞安中学  林克涌   325200   

一、问题:

人教版数学选修4-4坐标系与参数方程第15页课后习题:

已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b(a>b>0),AB分别为椭圆上的两点,且 .求证: 为定值.

由于学生刚刚学习了极坐标知识,自然地想到利用极坐标的方法来处理此题,也可以用普通方程来处理。下面提供两种证明方法。

证法一:在直角坐标系中椭圆方程为:

以直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系。

,代入椭圆方程得到:

化为:

因为 ,设 ,得:

 

为定值.

证法二:当直线OA的斜率存在且不为0时,设OA的直线方程为: OB的直线方程为: ,与椭圆联列方程组

,化简得:

,得:

同理:

所以, 为定值.

当直线OA的斜率不存在或为0时,则直线OAOB在坐标轴上,

    

 综上, 为定值.

二、类比:已知双曲线的中心为O,实轴、虚轴的长分别为2a,2b (a<b),AB分别为椭圆上的两点,且 .求证: 为定值.

证:在直角坐标系中双曲线方程为:

 

以直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系。把 ,代入双曲线方程得到:

     ,化为:

因为 ,设 ,得:

 

为定值.

三、推广: 是椭圆 上的n个点,且

.

求证: 为定值.

证:以直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系。

,代入椭圆方程得到:

化为: ,设 ,则

   = …… ()

因为

   =

  =

 =

  = ,  代入上式,

  为定值。

四、联系:以本题为背景经改编而成的题目在近几年的高考中或一些省市的高考模拟试题中经常出现。例如:

题(22)图

2007重庆卷理科数学试题22:(如图)中心在原点 的椭圆的右焦点为 右准线 的方程为:  

1)求椭圆的方程;

2)在椭圆上任取三个不同点 使

证明: 为定值,并求此定值  

2009年合肥市高三第一次教学质量检测理22:设AB为椭圆上 的两个动点。(1)若AB满足 ,其中O为坐标原点,求证: 为定值。